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Hamilton函数H等于体系的械能

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  泊松括号第七章 哈密顿力学 7.1 哈密顿正则方程 写出系统的拉氏函数学问回首 7.1 哈密顿正则方程 Lagrange力学的不脚: 活动学速度做为坐标的衍生变数呈现 动力学 正在位形空间描述活动,方程二阶,统一点可能代表系统的分歧形态(速度分歧),导致活动轨道分歧。 1835年,Hamilton颁发两篇出名论文,将Lagrange方程化 为更对称的一阶方程组,创立了Hamilton动力学,为量子 力学、统计物理、量子场论奠论根本。 7.1 哈密顿正则方程 正则方程 泊松括号 正则变换 力学变分道理哈密顿-雅可例如程 7.1 哈密顿正则方程 正则方程的成立? 的偏导生成力学方程。力学形态参量变换 7.1哈密顿正则方程 1.Legendre变换 Legendre变换7.1 哈密顿正则方程 uxvy 7.1哈密顿正则方程 若要L中该当引入一个新函数 7.1哈密顿正则方程 dHdL dLdq dq dt dqdt dqdt 7.1哈密顿正则方程 dqdt dHdq dp dt 7.1哈密顿正则方程 1 7.1 哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 2 7.1 哈密顿正则方程 正则变量L函数:变量q, L函数包含了位形空间中描述系统活动的全数特征;H函数包含了相空间中描述系统活动的全数特征。 Hamilton道理、Hamilton正则方程和Lagrange方程是互为等价的。 Lagrange函数和Hamilton函数的对比7.1 哈密顿正则方程 Hamilton函数的物理意义为改写 中的第一项,将广义动量 取广义能量积分对比,Hamilton函数H取广义能量积分意义不异。 对于保守系统,则 械能对于保守系统,Hamilton函数H等于系统的械能。 7.1 哈密顿正则方程 相轨道相点正在相空间活动而描出的轨道,反映系统形态演化。 正则方程决定相点速度 (形态时变率) 相空间7.1 哈密顿正则方程 系统的初次积分是方程降阶降维的根本,会商哈密 顿正则方程Hamilton canonic equation的降阶降维问题 能量积分 轮回积分 活动积分7.1 哈密顿正则方程 证明: 表白H的变化取系统的变化无关,仅取H 能否显含t 相关 7.1 哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 若系统有l 个轮回坐标,则Hamilton正则方程的个数由2s 个降为2(s-l)个。因而对于一个力学系统,但愿找到尽可能多的 轮回坐标,轮回坐标越多,对于方程的求解就越有益。 7.1 哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 试用Hamilton正则方程求出程度弹簧质量振动系统的活动微分方程 解:单度系统,x为广义坐标 mxkx mxkx kx 7.1哈密顿正则方程 7.1 哈密顿正则方程 所以 mxkx 7.1哈密顿正则方程 mxkx kx 7.1哈密顿正则方程 程度曲管以匀角速度绕铅曲轴扭转。管 内放有用弹簧相联的两不异质量m 的小球。小 球可沿曲管无摩擦地滑动。已知弹簧刚度系数为 ,试写出系统的Hamilton正则方程。小球尺寸略去不计。优德88手机客户端。 解:两个度,x 7.1哈密顿正则方程 给定初始前提后,就可得出正则变量 的函数 7.1哈密顿正则方程 空心圆管OA绕铅垂轴O正在程度面内动弹。它对O轴的动弹惯量J ,质量为m的质点M正在圆管内活动,设质点受引力F 是质点到转轴O点的矢径,μ是。试列出系统的Hamilton正则方程并求初次积分。 解:系统有两个度,选r、φ为广义坐标,系统的动能 7.1哈密顿正则方程 广义动量 由上式可知,φ为轮回坐标,则存正在轮回积分,即广义动量守恒 7.1 哈密顿正则方程 存正在广义能量积分 7.1哈密顿正则方程 半径为c的均质圆球,自半径为b的固定圆球顶端无初速度滚下,试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加快度。 7.1哈密顿正则方程 7.4泊松括号 泊松括号 用泊松括号暗示的正则方程 泊松(雅可比-泊松) 系统动力学纪律的泊松括号形式,可供给一 些处置典范力学问题的特定方式。 7.4 泊松括号 1.泊松括号的引入 7.4泊松括号 泊松括号7.4 泊松括号 一般形式的泊松括号定义7.4 泊松括号 2.泊松括号的根基性质 C取肆意函数 所构成的泊松括号为零,即 7.4泊松括号 构成泊松括号的两个函数互换挨次,则取本来的差一个符号。即 7.4泊松括号 7.4泊松括号 7.4泊松括号 7.4泊松括号 ),则有泊松恒等式/雅可比恒等式 轮换可获得雷同式,从而得证。 7.4泊松括号 3.用泊松括号表述的活动方程 按照泊松括号的定义,有 7.4泊松括号 4.用泊松括号判断系统的活动积分 设系统的活动积分为 应均满脚正则方程,即 将正则方程代入上式df/dt 7.4泊松括号 操纵泊松括号,则上式可写成 t)是系统活动积分的充要前提。若是f 不显含时间t ,则此前提简化为 如函数f满脚泊松括号前提,则函数即为正则方程的活动积 7.4泊松括号 若是系统哈密顿量不显含时间t 7.4泊松括号 xpyp 会商平面谐振子的角动量的守恒性。已知平面谐振子哈密顿函数为 mpym mpxm 7.4泊松括号 角动量守恒。 由于力场 为核心力场。 角动量不守恒。 由于力场 为非核心力场。 7.4 泊松括号 ixix iyiy 例:试求由质点组角动量的曲角坐标分量 所构成的泊松括号。 iziz 7.4泊松括号 7.4泊松括号 例:质量m 质点M 正在不变场中活动,势能函数V=V( 试求它对证曲角坐标轴Oxyz的三轴的动量矩L Hamilton函数H所形成的泊松括号:( 7.4泊松括号 质点的动量矩 mxmy mz ymzzmy yp zp zmxxmz zp xp xmyymx xp yp 取势能函数V有如 下关系: 7.4泊松括号 如许 zFyF 若是无为有心力,并令坐标原点取正在力心,则 为正则方程的活动积分,即质点M正在活动过程中L 都连结恒量,这现实上就是熟知的质点正在有心力感化下活动时,对力心的动量矩正在三个曲角坐标轴标的目的别离守恒。 7.4 泊松括号 已知函数:(q 也是它的初次积分。(,ψ)为函数及ψ所形成的泊松括号。 证明: 已知(q 5.泊松7.4 泊松括号 由泊松括号性质(10),函数H, 7.4泊松括号 7.4 泊松括号 质量为m的质点M,受有心力的感化,如取力心为坐标原点O,则质点活动时对Ox 及Oy 轴的动量矩守恒,试用泊 松证明质点M 对Oz轴的动量矩L =,即守恒。解:取质点M的曲角坐标x, z为广义坐标,按质点对Ox及Oy 轴的动量矩守恒前提,获得它的正则方程的两个活动 积分 ymzzmy yp zp zmxxmz zp xp 为初次积分,即7.4 泊松括号 xpyp