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iˆ通过厄密性的要求

浏览次数: | 时间:2019-10-27

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  哈密顿算符分歧形式下的表达式胡连钦(08180218) 范世炜(08180218)摘要:由曲角坐标系中的哈密顿算符向分歧坐标系转换,将获得分歧形式(极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵)的哈密顿表达式。本文采用间接微分运算的方式,细致的引见了哈密顿算符表达式的数学推导过程,降低了初学时的难度。别的本文还通过计较,间接给出了动量分量的算符表述,而且针对不怜悯况弥补响应的例题或是加上哈密顿算符的具体使用。环节词:哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 使用1.引言正在典范力学中,我们定义哈密顿算符为总能量算符: VmpTH2/ˆˆ若是我们从波函数 出发,算符是空间矢量本身: )(r rˆ它的分量是 , , xˆyˆzˆ动量算符暗示为 hip它的分量是 , ,xixˆyiyˆzipzhˆ对应的哈密顿算符能够通过尺度的替代法则 获得iVmH2ˆh正在教科书中,给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式,但因数学推导过程难渡过大,一般教科书中都是略去的。接下来,我们给出了方程的数学推导过程,降低初学时的难度。2、哈密顿算符正在分歧坐标中推广表达式2.1、极坐标下的哈密顿算符极坐标中变量 、 取曲角坐标中变量 x、y 之间的关系:xyarctn2图 1 极坐标取曲角坐标的关系 按照上述关系有:sicoy cossinyy哈密顿算子 正在曲角坐标中的表达式为:yxer据上述坐标之间的微分关系为:222222 )1()cos(sin)sin(co)(  yx所以哈密顿算子 正在极坐标中的表达式为:err1据哈密顿算子 的计较过程有:2)sin)(cosin(co)2 x2222 siiisincos  22 cocsncsin y所以拉普拉斯算子 正在极坐标中的表达式 [5]为:或 221 221)(1所以极坐标下的哈密顿算符 能够暗示成:Hˆ(1.1)Vm)1)(122h正在极坐标下的动能表达式为: &T正则动量为: 和 &p2mTp获得哈密顿量为: (1.2)VH2ˆ正在极坐标中将(1.2)式间接进行量子化,通过满脚 的要求,若是仍将ijjiqh]ˆ,[响应的算符暗示为: , hipˆ ipˆ获得 (1.3)VmH)1(22 通过比力,发觉(1.3)取(1.1)不分歧,可是(1.1)式是准确的,错误的缘由是并非厄密算符,一个算符 F 满脚 ,才是厄密算符。量子力学中暗示力hipˆ 学量的算符必需是厄密的,而动量分量明显是力学量,所以暗示动量分量的算符必需是厄密算符。所以 不克不及做为动量算符的分量暗示。iˆ通过厄密性的要求,能够证明径向的动量算符该当为(1.4)1)2(ˆhiip现正在把(1.4)式, 带入(1.2)式获得hiˆ(1.5)VmmH2228)1(h比力(1.5)取(1.1) ,发觉多了 项,虽然所有的算符曾经满脚对易法则且为厄2密算符,可是仍然没有获得准确的量子哈密顿量。所以我们通过构制动量分量 的算符,正在典范力学中,径向动量就是动量的径向投pˆ影,定义为 或 ,过渡到量子力学,因为 和 不合错误易,为了prˆrpˆ径向动量算符是厄密算符,我们能够取  hrripp)(21ˆ这才是动量径向分量的算符暗示,它满脚厄密性的要求。所以动量算符正在球坐标系中的各分量为 , 。iˆipˆ2.2、柱坐标下的哈密顿算符柱坐标中变量 、 、 取曲角坐标中rz变量 x、y、z 之间的关系zxyarctn2图 2 曲角坐标取柱坐标的关系 据上述关系有: 2222 )(cos(sin)si(co)() zrrzyx   22)(1)(zr所以哈密顿算子 正在柱坐标中的表达式为:zreer据哈密顿算子 的计较过程有:222222 sincosincosinsico   rrrrx2sin y。2z所以拉普拉斯算子 正在柱坐标中的表达式为:2或 2221zrr221)(zrr所以柱坐标下的哈密顿算符 能够暗示成:Hˆ(2.1)Vzrrm))(2ˆ 22h正在柱坐标中将(2.1)式间接进行量子化,构制动量分量 的算符,正在典范力学中,rpˆ径向动量就是动量的径向投影,定义为 或 ,过渡到量子力学,因为rpˆr和 不合错误易,为了径向动量算符是厄密算符,我们能够取rpˆ rirr h)(21ˆ其实柱坐标中的动量分量取极坐标下的景象十分类似,就多了动量正在 Z 上的分量 。zpˆ所以动量算符正在球坐标系中的各分量为 , , 。riprˆipˆizh2.3、球坐标下的哈密顿算符球坐标中变量 、 、 取曲角坐标中变量x、y、z 之间的关系xyzxrarctn22 图 3 曲角坐标取球坐标的关系 按照上述关系有: sincoscosinrrxiyrzsc操纵取柱坐标中不异的运算过程,可给出哈密顿算子 正在球坐标中的表达式eerrsin1按照哈密顿算子的计较过程,获得拉普拉斯正在球坐标下的表达式为: 22222 sisicorrr或 2222 in1)(iin11 所以球坐标下的哈密顿算符 能够暗示成:Hˆ Vrrrm ]sin1)(siin11[2ˆ 222 h然后对上式进行量子论,操纵正则变换很容易获得 prpr )ˆsiˆ(ˆ 222正在球坐标下,动量全体的算符 [6]暗示 )ˆin1ˆ(ˆ eeirh可是 和 都不是厄密算符,所以都不克不及做为动量分量的算符暗示。rihi1为了径向动量算符是厄密算符,我们能够取 rirppr h)(2ˆ这才是动量径向分量的算符暗示,它满脚厄密性的要求。同理,能够构制 , 是厄 tan21)ˆˆ(1iie sin1ˆrp密算符,能够做为 的算符暗示。pˆ2.4、哈密顿算符的矩阵形式量子力学理论能够证明:每一力学量算符正在矩阵代数中都有一对应的矩阵暗示。现正在,必博赌场,我们对哈密顿算符 的矩阵暗示做一简单的数学推导。正在量子力学中,所研究的主要问题Hˆ就是求解薛定谔方程: (4.1)Eˆ若是将波函数 看出是 n 个线性无关的波函数 的线.若是我们拔取一组正交向量 , ,···, 做为 n 维空间的一个基底, 从而 可以用向量形式暗示出来,即: (4.3)),.(21c再将哈密顿算符 当作是正在该矢量空间的线性变换,则可用矩阵来暗示这个变换。不妨令:Hˆ(4.4) nnnaaaa.ˆ212211矩阵代数告诉我们,任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。因而, 经 变换Hˆ后,可得一新的向量。现令该新的向量为 : Brniibb121),.(也就是:(4.5)niinnnnbBcaaaaH121212211.ˆ rM又因 是线)niinn HccHcccH 12121 ˆˆ.ˆ).( 按照矩阵代数可知,任一单元矢量 经 变换后所得的新矢量 必然可写成 ,iˆi 1,···, 的迭加形式,因而,可令:2n(4.7)inijjjj ddH121ˆK),.21(nj那么式(4.6)便成为: (4.8)niijjdcH1ˆ对式(4.8)施以需要的代数运算: nijijinjiij cd11ˆ取式(4.5)进行比力,当即看出: njjiicdb1),.2(写成矩阵形式,即为: nnnn cddbMM21212121.再取式(4.5)进行比力,就得:或:  nnnnnnddaaaa 1 ijijda若将式(4.6)两边左乘 并正在整个空间积分,即得:i ddHnjijijiji  .ˆ 21(4.9)drnrijrnrji11留意到 , 的正交、归一前提,即ir  时当 时当 ridirri 0那么式就变成: ijijii aHˆ若积分 用符号 来取代,便有: dHiiˆij ijij按照式(4.9) ,即得出哈密顿算符 的矩阵形式为:ˆnnnHH.ˆ2122113、哈密顿算符分歧表达式的使用3.1、球坐标解法正在核心力场中的使用天然界中,普遍碰着物体正在核心力场中活动的问题,如地球正在太阳系中的活动,电子正在原子核四周的活动等等。正在量子力学中求解核心立场的问题时,凡是选 做为),(2zlH守恒量完全集,用它们的配合本征态来对定态进行分类。对于能量本征方程 (1.1)ErV)](2[h考虑到核心力场的球对称特点,选用球坐标较为便利。已知球坐标下有: 2222 sin1)(sini11 rrr又由于 ]i)(isin[ 22hl两式带入(5.1)可得 或 ErVlr)](212[h ErVlr)](21[2h上式左边第二项称为“离心势能” ,角动量越大则离心势能越大;第一项可暗示为 ,21rp称为径向动能,此中 ,是径向动量。rrpip)1(h取 为 的配合本征函数,可得),(2zlH此中),(,mllYrRr)( ll,.120方程中 为径向函数, 为角度标的目的函数,则本征方程变为)(rRl ),(ml mlmlYERrlVrd2222 ])1(1[ hh由此先不考虑角度标的目的的函数 ,则获得径向方程为,mlY0])1()(21[ 22 lRrlVErdh或此中 (1.2)])()([222lll rlrRd .2,l分歧的核心力场 就觉定了分歧的径向波函数,及其本征值。径向方程(1.2)不)V含磁量子数 。因而能量本征值取 无关。能够如许理解:因为核心力场的球对称性,粒mm子的能量明显取 轴的取向无关。可是其能量取角量子数 相关,正在给定 的环境下,z ll,共有 个可能取值,因而,一般来说,核心力场中粒子的能ll,1.,)12(l级是 简并的。)2(为了求解方程,可令 rrRll)(代人方程(1.2) ,得(1.3)0]1)(2[2ll r